Bruchrechnen
Beim dividieren von Zahlen hatten wir gesehen, dass es Zahlen gibt, die keine ganzen Zahlen sind. Diese Zahlen enthalten einen Bruch - einen Teil der kleiner als 1 ist und nach dem Komma geschrieben wird.
Das Beipiel 13 / 4 = 4,25 enthält mit dem Teil ,25 so einen Bruch. Wir erinnern uns, dass wir den Rest von 1 immer wieder mal 10 genommen und dann durch 4 geteilt haben. Wir haben somit 1 / 4 berechnet und als Ergebnis 0,25 erhalten.
Für diese Zahlen, Brüche, hat man in der Mathematik den Ausdruck rationale Zahlen Q definiert.
Brüche enthalten immer einen Zähler, die Zahl die geteilt wird, und einen Nenner, die Zahl durch die geteilt wird, wobei der Zähler oberhalb und der Nenner unterhalb des Bruchstriches steht. Das sieht dann so aus:
Zähler
------
Nenner
Klingt jetzt erst einmal nicht so spannend, im Prinzip also Division, nur dass der Divident jetzt Zähler heißt und der Divisor heißt nun Nenner.
Das stimmt, aber bei einem Bruch schreibe ich nicht das Ergebnis auf, sondern die Aufgabe. Als Bruch würde ich (2 * 5) / (10 * 4) so schreiben:
2 * 5
------
10 * 4
Der Vorteil der Bruchrechnung ist, dass ich innerhalb meiner Aufgabe, nach Möglichkeiten zur Vereinfachung meiner Aufgabe suchen kann. Ich kann meinen Bruch kürzen.
Sehen wir uns das Beispiel noch einmal an:
2 * 5
------
10 * 4
Im Zähler wird mit 2 multipliziert und im Nenner mit 4. Ich könnte also diese beiden Faktoren durch 2 teilen. Dann bliebe im Bruch:
2 * 5 [2/2]
------
10 * 4 [4/2]
1 * 5
= ------
10 * 2
Die beiden anderen Faktoren sind 10 und 5. Was fällt auf? Genau 10 ist 2 * 5. Also teile ich doch diese Faktoren schlauerweise durch 5.
1 * 5 [5/5]
= ------
10 * 2 [10/5]
1 * 1
= ------
2 * 2
OK, 1 * 1 ist 1 und 2 * 2 ist 4. Es bleibt:
1
-
4
Dasselbe funktioniert auch umgekehrt. Ich kann einen Bruch beliebig erweitern. Dazu multipliziere ich Zähler und Nenner mit derselben Zahl.
1 [1 * 2]
-
4 [4 * 2]
2
= -
8
Ein Bruch gibt also immer das Verhältnis von Zähler zu Nenner an.
Was nutzt mir diese Erkenntnis jetzt im wirklichen Leben?
Mit meinem neuen Wissen kann ich Aufgaben wie zum Beispiel, was ist 15 / (3 * 7) lösen.
15
------
3 * 7
15 [/3]
= --
21 [/3]
5
= -
7
Ich kann Brüche addieren:
1 2 [2 * 5]
-- + -
15 3 [3 * 5]
1 10
= -- + --
15 15
11
= --
15
Ich kann Brüche subtrahieren:
10 1 [10 / 5]
-- - -
15 3 [15 / 5]
2 1
= - - -
3 3
1
= -
3
Ich suche mir also zum addieren und subtrahieren von Brüchen einen gemeinsamen Nenner. Wenn ich mir nicht sicher bin, welchen Nenner meiner beiden Brüche gemeinsam haben, kann ich einfach Nenner * Nenner rechnen und danach das Ergebnis kürzen.
Wie man Brüche multipliziert und dividiert, damit beschäftige ich mich hier.