Ausdrücke

Ein Ausdruck ist im Prinzip nichts anderes als eine Rechenaufgabe. 1 + 2 = 3 ist ein Ausdruck. Dieser Ausdruck besteht aus Zahlen und Rechenzeichen. Um allgemeingültige Aussagen zu treffen, werden die Zahlen durch Buchstaben ersetzt, das heißt unser Ausdruck würde als allgemeiner Ausdruck so geschrieben a + b = c. Die Buchstaben sind hierbei Platzhalter für eine beliebige Zahl. Ausdrücke die Platzhalter, Variablen, enthalten nennt man Terme.

Mit Termen kann man genauso rechnen, wie mit "realen" Ausdrücken. Zum Beispiel kann ich aus 3a * (4b + 2c) durch ausmultiplizieren, wir erinnern uns an die Klammerregeln, 12ab + 6ac machen. Wobei ich die Variablen natürlich nicht "ausrechnen" kann. Es gilt auch hier das Distributivgesetz.
12ab + 6ac ist einfach nur die Kurzform von (12 * a * b) + (6 * a * c).

Oder allgemein formuliert: 

                                 (a + b) * (c + d) = ac + bc + ad + bd

Man kann gleiche Variablen in einem Ausdruck zusammenfassen. So wird aus 2a + 4b - 3c + 3a - 2b + 4c, zusammengefasst 5a + 2b + c. Denn 2a + 3a sind 5a, 4b - 2b sind 2b und -3c + 4c sind 1c, wobei ich die 1 weglassen kann.

Das geht natürlich auch bei zusammengesetzten Termen: 

                     (a + b) * (c + d) + a * (c + d) = ac + bc + ad + bd + ac + ad = 2ac + 2ad + bc + bd

Die anderen Regeln gelten für Terme natürlich auch, so ist a * a = a2 und b * b * b = b3. 

                                 (a + b) * (a + b) = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
                                 (a - b) * (a - b) = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
                                 (a + b) * (a - b) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2

Wer hat sie erkannt? Genau, oben stehen die binomischen Formeln.

Genauso wie man einen Term ausmultiplizieren kann, kann man auch einen Faktor ausklammern. 

                         2abc + 4ad + 12aef = 2a * (bc + 2d + 6ef)

Und auch Brüche kürzen. 

                         4ab + 2ac   2a * (2b + c)   2 * (2b + c)   4b + 2c
                         --------- = ------------- = ------------ = -------
                            ac            ac              c            c

Es bleibt also alles beim alten, man muss nur aufpassen, dass man nicht Äpfel mit Birnen vermischt.

Ein weiterer Ausdruck ist das Summenzeichen. Dieses wir genutzt wenn ich zum Beispiel 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 ausrechenen möchte. Es ist nicht gerade Platzsparend, alle Zahlen hintereinander mit einen Pluszeichen aufzuschreiben. Deswegen schreibt man kurz:

Man ließt das ganze dann als "Summe über i für i von 1 bis 10".

Will man also die Summe aller geraden Zahlen zwischen 1 und 100 schreibt man:

Man kann natürlich auch Terme in dieser Weise beschreiben. Zum Beispiel, die Summe aller ai über i von 1 bis n.

In diesem Beispiel wird die Nützlichkeit des Summenzeichens noch einmal klar: Ich weiß ja gar nicht wie groß n ist, wie sollte ich diesen Ausdruck anders aufschreiben?

Etwas seltener wird der Ausdruck für das Produkt benutzt. Um wieder die Zahlen von 1 bis 10 mit einander zu multiplizieren, also 1 * 2 * 3 * 4 * 5 ... nutze ich:

Oder für das Produkt aller ai über i von 1 bis n.

OK, Ausdrücke sind klar. Gehen wir einen Schritt weiter und kommen zu Gleichungen.

Mathematische Grundlagen