Zahlen

In der Mathematik dreht sich alles um Zahlen! Naja, vielleicht nicht alles, aber Zahlen sind schon die wichtigste Komponente der Mathematik. Eigentlich ergeben sich Zahlen "von selbst". Sobald man Dinge "begreifen" kann, kann man sie auch Zählen. Die natürlichen Zahlen N sind so entstanden. Mit den natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4, ...}, kann man also die Anzahl von Dingen beschreiben und auch berechnen. Zum Beispiel, eine Kaffeetasse und nocheine und nocheine sind drei Kaffeetassen, oder als Zeichen 1 + 1 + 1 = 3.

Was passiert, wenn ich gar keine Kaffeetasse habe? Wie stelle ich denn so etwas dar? Ok, mit der Null. Ist die Null eine natürliche Zahl?
An dieser Frage beißen sich die Mathematiker noch heute die Zähne aus. Deswegen hat man sich, aus Gründen der Eindeutigkeit, zum Kompromiss "natürliche Zahlen mit Null" N0 durchgerungen. (Das ist das Schöne an der Mathematik, man kann einfach etwas "definieren".)

Wie oben schon gezeigt, kann man mit den natürlichen Zahlen N rechnen. Ich kann Dinge zusammenzählen und wieder abziehen. Oder in mathematischer Ausdrucksweise summieren (+) und subtrahieren (-).


                                         2 + 5 = 7
                                         3 + 4 = 9
                                         7 - 3 = 4
                                         9 - 3 = 6

Alles Prima! Ein Problem ergibt sich, wenn man mehr abzieht als man hatte, also "Schulden" macht. Die natürlichen Zahlen reichen nicht aus um das Ergebnis darzustellen. Dumm gelaufen!
Wir benötigen also auch negative Zahlen. Darum hat man die natürlichen Zahlen N, um die negativen Zahlen erweitert. Das ganze ergibt dann die "ganzen" Zahlen Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Mit den negative Zahlen ergeben sich allerdings neue Probleme. Bei der Addition ist es egal an welcher Stelle die einzelnen Elemente, man nennt sie übrigens Summanden, meiner Rechnung stehen, den 1 + 3 = 4 und auch 3 + 1 = 4. Das ist immer so! Mathematiker nennen Regeln, die immer zutreffen, ein Gesetz. Und da ein Gesetz einen Namen benötigt, hat man es Kommutativgesetz genannt.
Bei der Subtraktion ist aber 3 - 1 = 2 und 1 - 3 = -2. Und 2 ist nicht gleich -2. Deswegen ist die Subtraktion nicht kommutativ.
Nebenbei, die Zahl von der etwas abgezogen wird heißt Minuend, die Zahl, die abgezogen wird heißt Subtrahend. Das Ergebnis nennt man Differenz.

Neben der Addition und der Subtraktion gibt es noch die Multiplikation (*) und die Division (/). Die Multiplikation ist, wie die Addition, kommutativ. Es ist also egal, an welcher Stelle ein Faktor, also eines der Elemente der Multiplikation, steht. Das Ergebnis nennt man das Produkt. Warum ist das so? Die Multiplikation ist eigentlich nur eine Kurzform der Addition. Wenn ich 3 + 3 + 3 + 3 = 12 rechne, kann ich stattdessen auch 4 * 3 = 12 rechnen. Das heißt, ich zähle wie oft ich eine Zahl addieren muss und schreibe das ganze einfach kürzer auf.

Bei der Division teile ich eine Zahl durch eine andere. Ein einfaches Beispiel ist, ich habe 12 Kuchenstücke und 4 Gäste - Wieviele Kuchenstücke bekommt jeder Gast? Das Ergebnis ist natürlich 3 Kuchenstücke für jeden Gast. Bei der Division schaue ich also nach, mit welcher Zahl ich die Anzahl meiner Gäste multiplizieren muss, um meine 12 Kuchenstücke zu verteilen.
Das Problem dabei ist, dass die Division nicht immer "aufgeht", das heißt es kann passieren, dass ein Rest übrig bleibt. Zum Beispiel, wenn ich nicht 12, sondern nur 10 Kuchenstücke an meine Gäste verteilen kann. In diesem Fall bekommt jeder Gast 2 Kuchenstücke und es bleiben zwei Stücke übrig. 10 / 4 hat also einen Rest von 2. Die Division ist, wie die Subtraktion, nicht kommutativ.

Jetzt kann man natürlich einfach damit leben, dass es bei der Division einen Rest gibt. In der Mathematik wird so etwas aber nicht einfach hingenommen. Man definiert eine neue Menge für Zahlen, bei denen bei der Division ein Rest bleibt und nennt diese Zahlen die rationalen Zahlen Q oder Brüche.

Bei der Division nennt man die Zahl, die geteilt wird, den Dividend. Die Zahl durch die geteilt wird ist der Divisor. Das Ergebnis heißt Quotient.


                                         2 * 5 = 10
                                         3 * 4 = 12
                                         7 / 3 = 2 Rest 1
                                         9 / 3 = 3

Die vier Grundrechenarten können auch miteinander verbunden werden. Ich kann zum Beispiel 12 Kuchenstücke haben, davon 4 verteilen, dann den Rest durch 2 teilen. Also: 12 - 4 / 2 Upps, was machen wir nun? Rechnet man zuerst 12 - 4 oder 4 / 2?
Wenn wir zuerst 12 - 4 rechnen ist das Ergebnis 8. Das dann durch 2 ergibt 4. Rechnen wir zuerst 4 / 2, haben wir 2, die wir von 12 abziehen, also als Ergebnis 10. Es ist also nicht egal, in welcher Reihenfolge man etwas rechnet. Deswegen gilt:

Punktrechnung (* und /) geht vor Strichrechnung (+ und -).

Also wäre das richtige Ergebnis in unserem Fall nicht das, was wir erreichen wollten. Wir wollten zuerst 12 - 4 rechnen und dieses Ergebnis dann durch 2 teilen.
Und nun? Da so etwas öfter vorkommt, hat man sich geeinigt, dass Berechnungen die zuerst ausgeführt werden sollen, in Klammern stehen. In unserem Fall wäre (12 - 4) / 2 = 4 die richtige Schreibweise.

Mit den Klammern, kann man klarstellen, in welcher Reihenfolge eine Aufgabe gelöst werden soll. Wenn man mehrere Klammern hat, geht man immmer von innen nach aussen vor.


                                         2 * 5 + 10 / 5
                                       = 10 + 2
                                       = 12

                                         2 * (5 + 10) / 5
                                       = 2 * 15 / 5
                                       = 2 * 3 = 30 / 5
                                       = 6

                                         2 * (5 + 10 / (8 - 3))
                                       = 2 * (5 + 10 / 5)
                                       = 2 * (5 + 2)
                                       = 2 * 7
                                       = 14

Mehr zu Klammern und den dazu gehörenden Regeln gibt es hier.

Mathematische Grundlagen