Klammern
Mit Klammern kann man die Ausführung einer Berechnung steuern, das hatten wir im letzten Kapitel gelernt. Es gibt dazu einige Regeln, die man wissen sollte.
Als erstes gibt es das Assoziativgesetz, hört sich kompliziert an, ist es aber nicht. Diese Regel besagt, dass ich die Klammer in meiner Berechnung verschieben darf. Zum Beispiel, ist 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3. Es ist also egal, wo meine Klammer steht. Eigentlich kann ich die Klammer auch weglassen, denn 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3 = 1 + 2 + 3. Dieses Gesetz gilt für die Addition und die Multiplikation.
Jetzt fragt man sich ob das nicht auch mit der Subtraktion funktioniert. Nein, tut es nicht !. Ein Beispiel:
(3 - 2) - 1 ergibt 0 und 3 - (2 - 1) ergibt 2. Die Ergebnisse 0 und 2 sind also nicht gleich. Ich habe bewiesen das
die Subtraktion nicht Assoziativ ist, weil ich ein Beispiel kenne, für das diese Regel nicht gilt. Das machen Mathematiker
immer so. Um ein Gesetz zu wiederlegen, benötige ich nur ein Beispiel, für dass dieses Gesetz nicht gilt.
1 + 2 + 3 = 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3
6 = 1 + 5 = 3 + 3
6 = 6 = 6
(3 - 2) - 1 <> 3 - (2 - 1)
1 - 1 <> 3 - 1
0 <> 2
Das war einfach. Die nächste Regel nennt sich Distributivgesetz. Diese Regel gilt wieder für die Addition und die
Multiplikation, und zwar wenn ich die beiden mische. Ich habe zum Beispiel zu berechnen, wieviel 15 * (3 + 4) macht. Diese Rechnung
kann ich machen, indem ich zuerst 3 + 4 rechne, und das Ergebnis mal 15 nehme. Ich könnte aber auch 15 * 3 rechnen und dann
15 * 4. Danach addiere ich die beiden Ergebnisse.
Also kurz, 15 * (3 + 4) = 15 * 3 + 15 * 4 (hier muss ich keine Klammer setzen, da ja Punktrechnen vor Strichrechnen)
15 * (3 + 4) = 15 * 3 + 15 * 4
15 * 7 = 45 + 60
105 = 105
Mit positiven Zahlen funktioniert das ganze also recht einfach. Problematisch wird es, wenn negative Zahlen dazu kommen.
Negative Zahlen sind die Gegenzahlen ihrer positiven Brüder. Es ist also (-1) die Gegenzahl zu (+1). Bei positiven Zahlen
wird das Vorzeichen normalerweise weggelassen. Bei negativen Zahlen muss man es mit angeben. Deswegen werden negative
Zahlen meist in Klammern (-1) gesetzt. Das macht man um das Vorzeichen vom Rechenzeichen zu unterscheiden.
Ansonsten gäbe es wohl einige Verwirrung.
Für das rechnen mit negativen Zahlen gibt es wieder einige Regeln:
- Aus + (+) wird +
- Aus - (+) wird -
- Aus + (-) wird -
- Aus - (-) wird +
Häää, und was soll mir das jetzt sagen?
OK, fangen wir mit der ersten Regel an. Aus + (+) wird +. Wo haben wir das schon mal gesehen? Genau, oben beim Assoziativgesetz. Bei einer reinen Addition, kann ich die Klammer weglassen. Also ist 1 + (+1) = 1 + 1 = 2.
Die zweite Regel. Aus - (+) wird -, ist genau wie die erste. Ich ziehe 1 von 1 ab. 1 - (+1) = 0. Bei einer positiven Zahl kann ich das Vorzeichen und die Klammer weglassen, folglich 1 - 1 = 0.
Die dritte Regel, Aus + (-) wird -. Wieder mein Beispiel, 1 + (-1) = 0. Hier kann ich das + weglassen, da (+1) + (-1) = 0. Ich addiere (-1) zu 1, was gleichbedeutend ist mit 1 - 1 = 0. In der zweiten Regel war 1 - (+1) = 0. Folglich ist 1 - (+1) = 1 + (-1).
Die vierte Regel, Aus - (-) wird +, ist auch gar nicht so schwierig. Mein Beispiel, 1 - (-1) = 2. Warum ist das so? Ich ziehe die Gegenzahl von 1, also (-1) von 1 ab. Die Gegenzahl ist die Zahl, die addiert mit der ursprünglichen Zahl, 0 ergibt. Wir addieren also die Gegenzahl, der Gegenzahl, zur urspünglichen Zahl (-(-1)).In der dritten Regel hatten wir 1 - 1 = 1 + (-1), also ist 1 - (-1) = 1 + (-(-1)) = 1 + 1 = 2.
Ein paar Beispiele:
15 - 3 + 4 = 15 + (-3) + 4
15 - 3 + 4 = 15 + 4 + (-3) [Hier kann ich die Summanden vertauschen]
12 + 4 = 19 + (-3)
16 = 19 - 3
12 - (-10) + (-8) = 12 + 10 + (-8) = 12 + 10 - 8
12 - (-10) - 8 = 22 + (-8) = 22 - 8
12 + 10 - 8 = 22 - 8
22 - 8 = 14
9 - (8 - 10) + 7 = 9 + (-(8 + (-10)) + 7 [Die Klammer wird wie eine Zahl behandelt]
9 - (-2) + 7 = 9 + (- (-2) ) + 7
9 + 2 + 7 = 9 + 2 + 7
18 = 18
Bei der Multiplikation gibt es ähnliche Regeln, wie bei der Addition.
- Aus (+) * (+) wird +
- Aus (-) * (+) wird -
- Aus (+) * (-) wird -
- Aus (-) * (-) wird +
Gehen wir die Regeln wieder durch. Die erste Regel Aus (+) * (+) wird + erklärt sich von selbst, denn (+1) * (+1) = (+1).
Die zweite und dritte Regel sind gleich, da bei der Multiplikation die Faktoren vertauscht werden dürfen.
Aus (-) * (+) wird - ist dasselbe wie Aus (+) * (-) wird -.
Wenn (+1) * (+1) = (+1), dann ist (-1) * (+1) = (-1), weil natürlich 1 * (-1) = (-1).
In der vierten Regel, Aus (-) * (-) wird +, multiplizieren wir (-1) mit (-1), da ich weiß, dass sich das Vorzeichen ändert, wenn ich mit (-1) multipliziere, da (+1) * (-1) = (-1), ergibt sich (-1) * (-1) = (+1).
15 * (-3) * 4 = (-45) * 4 = (-180)
(-15) * (-3) * (-4) = 45 * (-4) = (-180)
(-15) * 3 * (-4) = (-45) * (-4) = 180
15 * 3 * 4 = 45 * 4 = 180
Weiter geht es mit der Division.